Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6

Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6
Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6
Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6

Формула и схема Бернулли

 

   Пусть многократно реализуются повторные испытания при неизменных условиях их проведения. В ходе испытания фиксируется появление некоторого случайного события А, вероятность появления которого – Р(А) не зависит от результатов предыдущих испытаний и остается неизменной ( Р(А)=const ) при

повторении опыта. Такие испытания называются независимыми, а схема проведения испытаний носит название схемы Бернулли.

   Вероятность  того, что событие А наступит ровно m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяющих условиям схемы Бернулли равна:

,

где :p=P(A)–вероятность наступления события А; и q=1-p.

 

   Пример 1.  Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05.  Какова вероятность того, что среди купленных 10 билетов окажутся 2 выигрышных.

Решение.   Данная задача описывается схемой Бернулли: проводится 10 испытаний, в ходе которых проверяется наличие выигрыша. Применяя формулу Бернулли, находим вероятность появления выигрыша в двух из десяти испытаний:

.

 

   Пример 2.  При проведении маркетинговых исследований выявлено, что 20% опрошенных предпочитают использовать продукцию данной фирмы. Найти вероятности возможного числа пользователей продукцией фирмы в произвольно выбранной группе из пяти человек.

Решение. Согласно условию задачи вероятность того, что человек использует продукцию данной фирмы равна 0,2 (т.е:  и ). Искомые вероятности находим по формуле Бернулли   (где: n=5; и m=1,…,5) и помещаем их в таблицу.

 

№ п.п.

Число пользователей продукцией

фирмы в группе из пяти человек

Вероятность рассматриваемого события  ()

1

Пользователей нет

2

Один пользователь

3

Два пользователя

3

Три пользователя

4

Четыре пользователя

5

Все используют продукцию

данной фирмы

  

Асимптотические приближения формулы Бернулли

 

   Формула Бернулли дает точное значение вероятности того, что событие А наступит ровно m раз в n независимых испытаниях, определяемых схемой Бернулли. Однако, практическое применение этой формулы часто оказывается затруднительным, если числа m и n достаточно велики, а вероятность р – мала. Существуют некоторые асимптотические приближения формулы Бернулли.

Формула Пуассона

 

    Теорема. Если вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, стремится к нулю () при неограниченном увеличении числа испытаний n (), а произведение np стремится к некоторой константе  (), то вероятность  того, что событие А наступит

ровно m раз в n  испытаниях удовлетворяет предельному равенству: .

   С практической точки зрения, условия и выводы данной теоремы означают, что при выполнении следующих трех условий:

а)вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, достаточно мала;

б)число испытаний n – велико;

в)произведение np не превышает десяти (),

то с достаточно высокой степенью точности формула Бернулли может быть аппроксимирована  следующей формулой (Пуассона): , где: .

 

Локальная формула Муавра-Лапласа

 

   Теорема. (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, постоянна и отлична от 0 и 1 ( и ), а число испытаний n достаточно велико, то вероятность  того, что событие А наступит ровно m раз в n испытаниях приближенно равна:

, где:  φ(x) - функция Гаусса, определяемая выражением , аргумент х которой вычисляется по формуле .

Точность данного приближения увеличивается с ростом n(n>>1), и на практике оно может быть

 

использовано при значении n, удовлетворяющих условию: .

Значения функции Гаусса табулированы, что упрощает проведение расчётов.

Полезно иметь в виду следующие свойства функции Гаусса:

1.Для положительных значений х, функция Гаусса φ(x) является монотонно убывающей, стремящейся к нулю функцией: .

2.Для области отрицательных значений аргумента, свойства функции Гаусса φ(x) определяются ее четностью: φ(-x)= φ(x).

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

   Часто на практике требуется найти вероятность того, что число наступлений события А находится в некотором диапазоне. Например, требуется найти вероятность того, что событие А произойдет от десяти пятнадцати раз. Ответ на этот вопрос помогает найти следующая теорема.

   Теорема. (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, постоянна и отлична от 0 и 1 ( и ), то вероятность того, что число m наступлений события А в n испытаниях заключено в интервале [a, b] - , при достаточно большом n, приближенно равна:  ,

где: - функция, именуемая интеграл вероятности Лапласа,  определяется выражением:

,а значения  и  вычисляются по формулам: ,   .

Приведенная выше формула вычисления вероятности  носит название интегральной формулы Муавра-Лапласа. Ее точность возрастает с ростом n(n>>1), а ее применение на практике обычно выражается условием, аналогичным для локальной формулы: .

Значения функции  (интеграл вероятности Лапласа) табулированы. При проведении соответствующих расчетов полезно иметь в виду свойства функции , о которых подробно рассказано в разделе “Нормальный закон распределения”.

 

Примеры решения задач на тему «Повторение опытов»

 

Задача 1. Предприятие имеет проблемы с поставками сырья. Вероятность того, что в каждом отдельном месяце предприятие будет полностью обеспечено сырьем, равна 0,9. Какова вероятность того, что за полугодовой период предприятие будет полностью обеспечено сырьем:

а) ровно в трех месяцах?

б) не менее чем в двух месяцах?

Решение.

а)Поскольку вероятность обеспечения предприятия сырьем в каждом отдельном месяце постоянна и не зависит от обеспеченности сырьем в других месяцах, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности обеспечения сырьем могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

           ,       где: 

    - вероятность обеспечения предприятия сырьем в m месяцах за n месяцев;

p - вероятность обеспечения предприятия сырьем в каждом месяце,  р = 0,9;

    q - вероятность не обеспечения предприятия сырьем в каждом месяце, q = 1 – p = 0,1.

n – количество месяцев в полугодии, n = 6;

m – число месяцев обеспечения сырьем;

Cnm – число сочетаний из n = 6 по m, ;

а) n = 6; m = 3, получим:

б) Т.к. события «не менее чем в двух месяцах» и «менее чем в двух месяцах» противоположные, то: 

;

;

получим: .

Ответ: а) Р(А) = 0,015;     б) Р(А) = 0,999945.

 

Задача 2. Два ревизора проверяют счета фирмы. Каждый случайным образом выбрал по 10 счетов. Известно, что вероятность наличия ошибочного счета среди счетов фирмы равна 0,05. Какова вероятность того, что:

а) каждый ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

б) будет обнаружен хотя бы один ошибочный счет?

Решение.

    Исходим из посылок:

- если среди выбранных счетов есть ошибочный, то ревизор его обнаруживает;

- ревизоры действуют независимо друг от друга (обнаружение ошибочного счета одним ревизором не влияет на возможность обнаружения ошибочного счета другим ревизором).

Обозначим:

А – событие, состоящее в том, что каждый ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

    В – событие, состоящее в том, что первый ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

     – событие, состоящее в том, что первый ревизор не обнаружит ни одного ошибочного счета;

С – событие, состоящее в том, что второй ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

 – событие, состоящее в том, что второй ревизор не обнаружит ни одного ошибочного счета.

    p - вероятность наличия ошибочного счета среди счетов фирмы;

    q - вероятность отсутствия ошибочного счета среди счетов фирмы.

D – событие, состоящее в том, что будет обнаружен хотя бы один ошибочный счет;

а) Очевидно А = В∙С,

отсюда Р(А) = Р(В∙С) = Р(В)∙Р(С) – т.к. ревизоры действуют независимо.

Но Р(В) = 1 – Р()   и   Р(С) = 1 - Р(), тогда  Р(А) = (1 – Р())∙(1 - Р()). 

По условию вероятность наличия ошибочного счета среди счетов фирмы постоянна, равна 0,05 и не зависит ни от количества выбранных счетов ни от номера ревизора, следовательно, мы имеем дело со схемой Бернулли и поэтому:

Р()=Р()=  

Получаем: Р(А)=(1–0,5987)∙(1-0,5987) = 0,1610.

б) Очевидно, что D = B + C , отсюда:

Р(D) = Р(B + C) = P(B) +P(C) – P(B)∙P(C) – т.к. события B и C – совместные.

Но: Р(В) = 1 – Р(), Р(С) = 1 - Р(),    P(B)∙P(C) = (1 – Р())∙(1 - Р()),

Получаем: Р(D) = (1 – 0,5987) + (1 – 0,5987) - - (1 – 0,5987)∙(1 - 0,5987) = 0,642.

Ответ: а) Р(А) = 0,1610;      б) Р(D) = 0,6420.

 

Задача 3. Происходит демонстрация работы нового разрабатываемого фирмой изделия потенциальному заказчику. Демонстрируется работа трех изделий. Для каждого изделия вероятность того, что демонстрация пройдет без каких-либо сбоев, равна 0,9. Если все три изделия отработают без сбоев, вероятность того, что клиент сделает заказ, равна 0,8. Если одно из изделий допустит сбой, вероятность заказа равна 0,6; если два изделия допустят сбой, вероятность заказа уменьшается до 0,3. Если неполадки будут в работе всех трех изделий, заказа точно не будет. Какова вероятность того, что клиент сделает заказ?

Решение.

Обозначим:

А – событие, состоящее в том, что клиент сделает заказ;

    В – событие, состоящее в том, что все три изделия отработают без сбоев;

    С – событие, состоящее в том, что одно из изделий допустит сбой;

    D – событие, состоящее в том, что два изделия допустят сбой;

Опишем событие А: А = ВА + СА + DА, соответственно

Р(А) = Р(ВА + СА + DА) = Р(ВА) + Р(СА) + Р(DА)= = Р(В)∙Р(А/В) + Р(С)∙Р(А/С) + Р(D)∙Р(A/D), т.к. события ВА, СА и  DA  – несовместные. 

Поскольку вероятность отсутствия сбоев в работе каждого изделия постоянна и не зависит от сбоев в работе других изделий, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности событий В, С, D могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

    ,       где: 

    - вероятность появления сбоев в работе m изделий в партии из n изделий;

p - вероятность работы каждого изделия без сбоев,  р = 0,9;

    q - вероятность сбоев в работе каждого изделия, q = 1 – p = 0,1.

n – количество изделий в партии, n = 3;

m – число изделий, отработавших без сбоя в работе;

Cnm – число сочетаний из n = 3 по m, ;

По условию:Р(А/В)=0,8; Р(А/С)=0,6; Р(А/D)= 0,3;

Получим:  Р(А) = 0,729∙0,8 + 0,243∙0,6 + +0,027∙0,3 = 0,7371.

Ответ:  Р(А) = 0,7371.

 

Задача 4. Владелец универсама считает, что в среднем каждый пятый посетитель его магазина совершает покупку. Допуская, что предположение владельца верно, определить вероятность того, что

а) двое из восьми посетителей универсама совершают покупки;

б) хотя бы один из пяти посетителей универсама совершит покупку.

Решение.

Поскольку вероятность покупки для каждого посетителя постоянна и не зависит от совершения покупок другими посетителями, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности совершения покупок посетителями могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

    ,       где: 

    - вероятность совершения покупок m посетителями из совокупности в n посетителей;

p - вероятность совершения покупки каждым посетителем,  р = 0,2;

    q - вероятность не совершения покупки каждым посетителем, q = 1 – p = 0,8.

n – количество посетителей в совокупности;

m – количество посетителей совершивших покупки;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

а) n = 8; m = 2, получим:

;

б) т.к. события «хотя бы один из пяти» и «ни одного из пяти» противоположные, то:

;

получим: .

Ответ: а) Р(А) = 0,293;       б) Р(А) = 0,6723.

 

Задача 5. Отдел контроля качества фирмы, производящей стереофонические системы, взял на проверку 4 системы. Вероятность обнаружения дефекта в каждой из них составляет 0,02. Какова вероятность, что

а) во всех системах будут обнаружены дефекты;

б) хотя бы в одной системе будут обнаружены дефекты?

Решение.

Поскольку вероятность обнаружения дефекта в каждой системе постоянна и не зависит от обнаружения дефекта в других системах, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности обнаружения дефекта в системах могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

    ,       где: 

    - вероятность обнаружения дефекта в  m системах из совокупности в n систем;

p - вероятность обнаружения дефекта в каждой системе,  р = 0,02;

    q - вероятность не обнаружения дефекта в каждой системе, q = 1 – p = 0,98.

n – количество систем в совокупности;

m – количество дефектных систем;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

а) n = 4; m = 4, получим:

;

б) т.к. события «хотя бы в одной из четырех» и «ни в одной из четырех» противоположные, то: ;

;

получим: .

Ответ: а) Р(А) = 0,00000016;  б) Р(А) = 0,0776.

     Задача 6. В работе телефонной станции происходят в среднем 3 сбоя в час. Определить вероятность:

а) пяти сбоев за 2 часа;

б) хотя бы одного сбоя за 1 час.

Решение.

    Поскольку число соединений в работе телефонной станции в течении часа гораздо больше числа сбоев в ее работе (числа неверных соединений), то вероятность появления m сбоев вычисляется по  закону Пуассона с параметром λ = 3 (сбоя в час):   Рm = .

а) Обозначим: 

А – событие, состоящее в появлении пяти сбоев за 2 часа работы станции.

В соответствии со свойством закона Пуассона вероятность пяти сбоев за 2 часа определится по этому же закону, но при λ =2∙3=6 (сбоев в час):

Р(А)=Р5 =  - этот же результат можно получить из таблицы распределения Пуассона при: λ =  6   и   m = 5. 

б) Обозначим: 

А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного сбоя за 1 час работы станции;

 – событие, состоящее в отсутствии сбоев за 1 час работы станции.

Тогда: Р(А)=1–Р()=1–Р0 =1-.

Ответ: а) Р(А) = 0,1606;      б) Р(А) = 0,9502.

 

Задача 7. В агентство по продаже недвижимости в среднем обращаются 8 клиентов в день. Какова вероятность того, что за данный день в агентство обратятся 3 клиента?

Решение.

    В задаче задана интенсивность потока событий λ = 8 клиентов в день. Поскольку время обращения клиента в агентство гораздо менее времени работы агентства и самих обращений – немного, то можно считать, что вероятность обращения m клиентов в агентство вычисляется по  закону Пуассона с параметром λ = 8 (обращений в день):   Рm = . Тогда вероятность обращения трех клиентов в день определится:

Р(А) = Р3  =   - этот же результат можно получить из таблицы распределения Пуассона при: λ =  8   и   m = 3. 

Ответ:      Р(А) = 0,0286.

 

Задача 8. В честь национального праздника состоялся массовый забег на дистанцию 10 км. В забеге приняли участие 250 человек. Обычно в забегах такого типа из каждых десяти участников 8 доходят до финиша. Какова вероятность того, что до финиша дойдут

а) 200 человек;

б) от 180 до 220 человек?

Решение.

Поскольку считается, что вероятность дойти до финиша для каждого участника одинаковая, то мы имеем схему Бернулли при большом числе испытаний. Следовательно, вероятности, в данном случае, могут быть рассчитаны по:

а) локальной теореме Муавра-Лапласа, представляющей собой первую предельную форму закона Бернулли:  ,       где: 

    - вероятность того, что из n участников до финиша добегут  m участников;

p - вероятность добежать до финиша для каждого участника,  р = 0,8;

    q - вероятность не добежать до финиша для каждого участника, q = 1 – p = 0,2.

n – количество участников, m = 250;

    - значение функции Гаусса в точке х, определяемое по таблицам;

х – значение аргумента функции Гаусса, определяемое по формуле: ;

б) интегральной теореме Муавра-Лапласа, представляющей вторую предельную форму закона Бернулли:  ,       где: 

- вероятность того, что из n участников до финиша добегут от m1 до m2 участников;

- значение функции Лапласа в точке х, определяемое по таблицам;

х – значение аргумента функции Лапласа, определяемое по формулам:

;

p - вероятность добежать до финиша для каждого участника,  р = 0,8;

    q - вероятность не добежать до финиша для каждого участника, q = 1 – p = 0,2.

n – количество участников, m = 250;

Для а) имеем: n = 250; m = 200, р = 0,8;

q=0,2; получим: ;    ;отсюда:;

Для б) имеем: n = 250; m1 = 180; m2 = 220; р = 0,8; q = 0,2; получим:

;

т.к. функция Лапласа нечетная: Ф(-х)=-Ф(х), то:

.

Ответ:а) ;  б) .

 

Задача 9. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключается): больше одной партии из четырех или больше двух партий из пяти.

Решение.

Поскольку партнеры равносильны, то вероятность выигрыша равна вероятности проигрыша, причем эти вероятности постоянны и не зависят от результатов предыдущих партий. Значит, вероятности выигрыша могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

    ,       где: 

    - вероятность  m выигрышей в n партиях;

p - вероятность выигрыша в каждой партии,  р = 0,5;

    q - вероятность проигрыша в каждой партии, q = p = 0,5;

n – количество сыгранных партий;

m – количество выигранных партий;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

Событие «больше одной партии из четырех» противоположно событию «не более одной партии из четырех», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной из четырех» и «одна из четырех», тогда:  ;

получим: ;   отсюда:

;

 

Событие «больше двух партий из пяти» противоположно событию «не более двух партий из пяти», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной из пяти», «одна из пяти» и  «две из пяти» тогда:   ;

получим:

    ;  

;  отсюда:

;

Следовательно:  

Ответ: У равносильного шахматиста более вероятно выиграть более одной партии из четырех чем более двух партий из пяти.

 

Задача 10. (Проблема Смита) В 1693 г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему - не менее трех шестерок при 18 бросаниях.

Решение.

Вероятности получения различного числа шестерок при различном числе подбрасываний игрального кубика могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

    ,       где: 

    - вероятность выпадения m шестерок при n подбрасываниях;

p - вероятность выпадения шестерки при каждом подбрасывании,  р = ;

    q - вероятность не выпадения шестерки при каждом подбрасывании, q =1 - p =;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

Событие «хотя бы одна шестерка при бросании игральной кости 6 раз» противоположно событию «ни одной шестерки при бросании игральной кости 6 раз», тогда:

получим:

;  

Отсюда: ;

Событие «не менее двух шестерок при 12 бросаниях» противоположно событию «менее двух шестерок при 12 бросаниях», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной  шестерки при 12 бросаниях» и «одна шестерка при 12 бросаниях», тогда:

 

получим:

;

;

Отсюда: ;

Событие «не менее трех шестерок при 18 бросаниях» противоположно событию «менее трех шестерок при 18 бросаниях», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной  шестерки при 18 бросаниях»,  «одна шестерка при 18 бросаниях» и «две шестерки при 18 бросаниях», тогда:

;

получим:

;

 ;

;

Отсюда:;

Следовательно:  

Ответ: Шансы на успех у трех человек различны и снижаются с увеличением необходимого числа получения шестерок и подбрасываний кубика.

 

 

Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6 Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6 Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6 Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6 Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6 Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6 Приближенная формула для схемы бернулли лапласа6

Тоже читают:



Как сделать вентиляцию на свинарнике

Дизайн участка детского сада своими руками на участке

Париж схема общественного транспорта

Как плести из лент атласных своими руками

Оригинальный подарок для скорпиона